Закон сохранения момента импульса: формула, применение и особенности

Перед тем как перейти к рассмотрению формулы закона сохранения момента импульса, необходимо познакомиться с этим физическим понятием. Проще всего его можно ввести, если воспользоваться рисунком ниже.

Вам будет интересно: Нарративный анализ: понятие и применение

На рисунке видно, что на конце вектора r¯, направленного от оси вращения и перпендикулярного ей, имеется некоторая материальная точка массой m. Эта точка движется по окружности названного радиуса с линейной скоростью v¯. Из физики известно, что произведение массы на линейную скорость называется импульсом (p¯). Теперь стоит ввести новую величину:

Вам будет интересно: Сульфат стронция: нахождение в природе, растворимость, применение

Здесь векторная величина L¯ представляет собой момент импульса. Чтобы перейти к скалярной форме записи, необходимо знать модули соответствующих значений r¯ и p¯, а также угол θ между ними. Скалярная формула для L имеет вид:

На рисунке выше угол θ является прямым, поэтому можно просто записать:

Из записанных выражений следует, что единицей измерения для L будут кг*м2/с.

Лекция №5. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.

Разобьем твердое тело на элементарные массы m_i , тогда его можно представить как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Поэтому для описания поступательного движения тела можно использовать закон изменения импульса механической системы

p = $^n>$ m_i υ _i=m υ _C — импульс всех материальных точек твердого тела.

Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс

Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.

4.2. Момент импульса. Момент силы.

Момент силы. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F называется моментом силы материальнойточки относительно некоторого центра

Пусть на частицу массой m действует сила F , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент силы частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.1). Направление момента силы M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора r к силе F , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору F (рис. 4.2.1). Тогда модуль вектора момента силы равен

где d=r sin α − плечо силы относительно точки O .

Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси, есть скалярная величина, характеризующая вращательное движение действия силы и равная произведению модуля силы F , действующей на твердое тело, на плечо силы d относительно этой оси.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:

Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс m υ называется моментом импульса материальной точки относительно некоторого центра

Пусть частица массой m имеет импульс p , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент импульса частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.4). Направление момента импульса совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора к импульсу p , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору p (рис. 4.2.2). Тогда модуль вектора момента импульса равен

где d − плечо импульса относительно точки O .

Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.

Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.

Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂, . m_n движущихся со скоростями υ ₁, υ ₂, . υ _n . Пусть на каждую из этих точек действуют: равнодействующие внутренних сил F i ₁, F i ₂, . F i _n , и равнодействующие внешних сил F e ₁, F e ₂, . F e _n .

Запишем уравнения движения частиц:

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим

Преобразуем данные уравнения

Сложим эти уравнения и получим

В последнем уравнении:

Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы всегда равна нулю, т. е. $^n>$ M i _i=0 , получим основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки (или иначе закон изменения момента импульса механической системы ).

4.4. Закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил $^n>$ M e _i=0 , то получим

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.

4.5. Момент инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [I]=1 кг · м 2 .

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела I_z относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси:

Биомеханический анализ движений человека

3.1. Понятие о биомеханическом анализе

Биомеханический анализ движений человека всегда начинается с определения различных характеристик движущегося тела. Этими характеристиками могут быть различные механические характеристики (например, перемещение, скорость, ускорение) и биологические характеристики (сила тяги мышцы, время суммарной электрической активности мышцы). Некоторые из этих характеристик определяются экспериментально, а остальные – расчетным путем. В биомеханике широко используются механические характеристики движущегося тела. Прежде чем перейти к описанию механических характеристик введем ряд понятий, характеризующих механическое движение тел.

3.2. Механическое движение тела

Механическое движение тела – это изменение положения тела в пространстве относительно других тел. Механическое движение является неотъемлемым компонентом функционирования человеческого организма. Чтобы определить положение какого-либо тела в пространстве, прежде всего, нужно выбрать тело отсчета.

Тело отсчета – тело, которое условно считается неподвижным и относительно которого рассматривается движение данного тела.

Выбор тела отсчета определяется соображениями удобства для изучения данного движения. Обычно за тело отсчета принимается тело, неподвижное относительно поверхности Земли.

Система отсчета состоит из тела отсчета, системы координат и часов, синхронно идущих во всех точках пространства.

Физические величины бывают скалярными и векторными.

Векторная величина отображается отрезком прямой со стрелкой на одном конце. Длина отрезка в выбранном масштабе выражает числовое значение векторной величины, а стрелка указывает ее направление. Векторную величину обозначают буквой с черточкой над ней (или стрелкой) или жирным шрифтом. В настоящей лекции векторные величины будут обозначаться жирным шрифтом.

Скалярная величина (от лат. scalaris — ступенчатый) в механике – величина, каждое значение которой может быть выражено одним числом. То есть скалярная величина определяется только своим значением, в отличие от векторной, которая кроме значения имеет направление. К скалярным величинам относятся длина, площадь, время, температура и т. д.

Тело человека – это не материальная точка, а очень сложная биомеханическая система переменной конфигурации. При изучении кинематики движений человека мы можем исследовать движение отдельных точек его тела (например, центров суставов) и производить анализ и оценку их движений с помощью механических характеристик. При изучении движений отдельных звеньев тела человека мы можем вычленить и наблюдать наиболее простые формы движения тела – поступательное и вращательное.

Поступательным движением тела называется такое движение, при котором всякая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть как прямолинейными, так и криволинейными (например, траектория полета ядра или траектория ОЦТ тела человека в полетной фазе бегового шага).

При поступательном движении тела все его точки движутся по одинаковым и параллельно расположенным траекториям и имеют в каждый момент времени равные скорости и равные ускорения. Поэтому поступательное движение тела вполне определяется движением какой-либо его одной точки, а, значит, задача изучения поступательного движения тела сводится к изучению движения любой его точки.

Вращательным движением тела называется такое движение, при котором какие-либо две его точки остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Траекторией движения любой точки тела при вращательном движении будет окружность.

3.3. Классификация механических характеристик движения человека

Исследуя движения человека, измеряют количественные показатели механического состояния тела человека или его движения, а также движения звеньев тела, то есть регистрируют механические характеристики движения.

Механические характеристики движения человека – это показатели и соотношения, используемые для количественного описания и анализа двигательной деятельности человека.

Механические характеристики делятся на две группы:

• кинематические (описывают внешнюю картину движений);
• динамические (несут информацию о причинах возникновения и изменения движения человека, а также показывают, как меняются виды энергии при движениях и происходит сам процесс изменения энергии).

3.4. Кинематические характеристики движения человека или спортивных снарядов

Кинематические характеристики движения человека делятся на следующие группы:

• пространственные,
• временные,
• пространственно-временные.

3.4.1. Пространственные характеристики

Для простоты, будем считать, что тело человека является твердым телом. Тогда положение тела в пространстве будут характеризовать следующие пространственные характеристики:

• координаты тела;
• перемещение тела;
• траектория тела.

Координаты тела – это пространственная мера местоположения тела относительно системы отсчета.

Положение тела в пространстве может быть описано с помощью декартовых и полярных координат. Для определения положения точки на плоскости в декартовой системе координат достаточно двух линейных координат: x и y, в пространстве – трех: x, y, z.

Перемещение тела (ΔS) – вектор, соединяющий начальное положение точки (тела) с его конечным положением. При прямолинейном движении перемещение тела совпадает с траекторией движущегося тела. При криволинейном – не совпадает.

А.В.Самсоновой с соавт. (2016) изучалось влияние «моста» на характеристики движения штанги. Авторами установлено, что «сведение лопаток» позволяет уменьшить значение модуля перемещения штанги из положения «штанга на вытянутых руках» в положение «штанга на груди» на 2,5 см, а «мост» — на 6,7 см. Применение технических приемов позволяет уменьшить механическую работу по подъему штанги массой 144 кг на 43,7 Дж и 88,8 Дж соответственно (рис.3.1)

Рис.3.1. Перемещение штанги из положения «штанга на вытянутых руках» в положение «штанга на груди» (А.В.Самсонова с соавт., 2016)

Траектория движения тела – это геометрическое место положений движущегося тела в рассматриваемой системе координат.

В тяжелой атлетике одним из критериев мастерства является траектория движения штанги. На рис.3.2 представлены различные варианты траектории штанги. Считается, что ширина «коридора» в котором заключена траектория движения штанги не должна превышать 12 см.

Рис.3.2. Оптимальная (1) и нерациональные (2 и 3) траектории движения штанги при выполнении тяжелоатлетических упражнений.

Путь – физическая величина (скалярная), численно равная длине траектории движения точки или тела.

3.4.2. Временные характеристики

Временные характеристики раскрывают движение во времени. К временным характеристикам относятся:

• длительность движения тела,
• темп движений,
• ритм движений.

Длительность движения тела – это временная мера, которая измеряется разностью моментов времени окончания и начала движения тела.

Фаза – это часть движения, в течение которой решается самостоятельная двигательная задача.

Например, в беге существуют фаза опоры и фаза полета. Каждая из этих фаз характеризуется определенной длительностью.

Темп движений определяется количеством движений звена человека (например руки или ноги) в единицу времени. Эта характеристика определяется для повторных (циклических движений). Темп движений – величина, обратная длительности движений. Чем больше длительность движений, тем ниже темп. При педалировании в максимальном темпе спортсмен выполняет три цикла в секунду, при беге – 2,8 циклов в секунду, при беге на коньках – 1,8 циклов в секунду.

В атлетизме темп выполнения силовых упражнений существенно влияет на гипертрофию скелетных мышц. Установлено, что эксцентрические упражнения, выполняемые в высоком темпе, оказывают большее повреждающее действие на скелетные мышцы по сравнению с умеренным темпом. Вследствие этого степень гипертрофии мышц при выполнении силовых упражнений в высоком темпе будет больше.

Ритм движений – временная мера соотношения частей (фаз) движения.

Пример. В беге отношение фазы опоры к фазе полета характеризует ритм движений бегуна. Это отношение называется ритмическим коэффициентом. У детей 5-6 лет ритмический коэффициент равен двум, то есть фаза опоры значительно превышает фазу полета. У взрослых мужчин 20-29 лет этот значение ритмического коэффициента равно 1,4. У сильнейших спринтеров этот показатель равен 0,8.

Во многих видах спорта, например, толкании ядра, барьерном беге ритм является важнейшим критерием технического мастерства спортсмена.

3.4.3. Пространственно-временные характеристики

К пространственно-временным характеристикам относят:

• скорость тела;
• ускорение тела.

Поступательное движение тела

Скорость тела (V) – это векторная величина, определяющая быстроту и направление изменения положения тела в пространстве с течением времени. Скорость измеряется отношением перемещения тела (ΔS) к затраченному времени V= ΔS/Δt.

В спорте скорость движения человека или снаряда является критерием спортивного мастерства. Существует ряд видов спорта, в которых чем выше скорость перемещения спортсмена, тем выше результат, табл. 3.1.

История создания

В. А. Жуковский написал стихотворение «Вечер» в 1806 году. Тогда он, окончив Московский пансион, находился в селе Мишенском. Картины природы, которые В. А. Жуковский видел в этом селе, подталкивали поэта на создание романтической элегии.

Что Василий Жуковский хотел сказать стихотворением «Вечер»?

Основная мысль произведения в том, что хорошие и задорные времена юности, с их беззаботностью, гуляниями и обещаниями быстро испаряются во взрослой жизни, единственным логичным и скорым завершением которой становится смерть и приход на место поэта нового поколения. С другой стороны, сам лирический герой сознательно на это идет для того, чтобы посвятить оставшееся ему время и силы своей музе, а значит и романтической поэзии.
В этом стихотворении нет отсылок к биографии, но за его строками можно почувствовать, что автор многое пережил, причем и плохое, и хорошее. Емкие и красочные метафоры, описывающие живую природу, растения, умиротворенных людей и солнечный свет, отражают суть романтизма, его возвышенность и утонченность. В этих стихах заметно некоторое подражание зарубежным поэтам, однако Жуковский мастерски насытил его русским колоритом.
С другой стороны, драматическое окончание, подразумевающее скоротечность и сложность жизни – то есть ее полную противоположность чувственности и утонченности, усиливает эффект. Невольно и сам при прочтении вместе с героем задаешься вопросом, а не променял ли я дело своей жизни на ерунду и как скоро закончится самая интересная пора собственного существования.
Можно подытожить следующее, русский романтизм, начавшийся с витиеватой, утонченной элегии Василия Жуковского «Вечер» одновременно и воздушен своими метафорами, и суров, даже жесток поднимаемыми темами. Это произведение и по сей день способно всколыхнуть в человеке как радость и умиротворение, так и сомнения, сильные переживания.

Импульс тела во время движения по окружности

Все, что было сказано выше об импульсе, относится к линейным перемещениям тел. Как быть в случае вращения объектов вокруг оси? Для этого в физике введено другое понятие, которое аналогично линейному импульсу. Оно называется моментом импульса. Формула в физике для него принимает следующий вид:

Здесь r¯ — вектор, равный расстоянию от оси вращения до частицы с импульсом p¯, совершающей круговые движения вокруг этой оси. Величина L¯ — это тоже вектор, но рассчитать его несколько сложнее, чем p¯, поскольку речь идет о векторном произведении.

2016-11-19
Тонкое резиновое кольцо массой $m$ и радиуса $R_ $ раскрутили до угловой скорости $omega$. Найти новый радиус кольца, если жесткость резины $k$. Внешние силы не учитывать.

Как мы уже отмечали, в задачах на динамику следует стремиться, в первую очередь, к тому, чтобы записать Закон Ньютона. Для всего кольца это сделать невозмолшо, поскольку различные фрагменты кольца имеют различные (по направлению) ускорения. Поэтому, видимо, следует попытаться записать закон Ньютона для небольшого (с длиной, в пределе стремящейся к пулю) фрагмента, для всех элементов которого можно с хорошей точностью считать ускорение одинаковым.

Пусть мысленно выбранный фрагмент кольца опирается на угол $2 alpha$.

Обозначим через $vec _ $ и $vec _ $ силы упругости, действующие на фрагмент со стороны соседних элементов кольца. Записываем закон Ньютона для выделенного фрагмента кольца

$T_ sin alpha + T_ sin alpha approx Delta ma$, (1)

где $Delta m$ — масса фрагмента. Знак приближенного ра-понства связан с тем, что различные точки фрагмента имеют отличающиеся по направлению ускорения.

В силу симметрии (кольцо растянуто равномерно):

Из кинематики вращательного движения имеем:

Запишем закон Гука для кольца:

Чтобы обосновать соотношение (4), следует разбить все кольцо на $n$ равных (для простоты) частей, причем при больших $n$ каждый из фрагментов длиной $Delta x_$ можно считать прямолинейным. Затем применить для каждого фрагмента закон Гука в обычной форме:

$T = k_ ( Delta x_ — Delta x_ )$,

где $k_ = kn$ — жесткость фрагмента кольца

Складывая $n$ соотношений для закона Гука, приходим к равенству (4).

Нетрудно убедиться, что полученных уравпений недостаточно, чтобы получить решение задачи. Для нахождения связи между $alpha$ и $Delta m$ удобно ввести физическую величину $rho$ — массу кольца, приходящуюся на единицу угла (1 радиан). Очевидно, что $rho = frac $, где $2 pi$ угол, на который опирается вся масса кольца $m$.

Масса $Delta m$, приходящаяся на угол $2 alpha$, равна:

$Delta m = rho 2 alpha = frac 2 alpha$. (5)

Учитывая, что для малых углов:

из системы уравнений (1—5) окончательно получаем:

Выражение для $R$ теряет смысл, когда знаменатель обращается в нуль или становится отрицательным, то есть при $omega geq sqrt k> > = omega_ $. Физический смысл этого этого ограничения ($omega k> >$) обсуждался в задаче 1391 стационарное вращение при $omega geq omega_ $ невозможно, радиус кольца увеличивается.

Программа силовой тренировки на неделю

Для максимальной эффективности, необходимо составлять комплекс упражнений для развития силы индивидуально. Данную программу можно использовать, как начальный шаблон. Все движения выполняются по 3-4 подхода, 8-12 повторений.

Первая тренировка (грудь и спина):

• Жим штанги лежа;
• Подтягивания (или тяга верхнего блока);
• Жим гантель лежа под углом;
• Горизонтальная тяга блока;
• Разведение гантель;
• Тяга штанги в наклоне.

Вторая тренировка (плечи и ноги):

• Жим штанги сидя;
• Суперсет: махи в стороны, разведение в наклоне, махи перед собой;
• Приседания со штангой;
• Жим ногами;
• Суперсет: сгибания и разгибания ног поочередно;
• Подъемы на носки.

Третья тренировка (руки)

• Жим штанги лежа узким хватом;
• Подъем штанги на бицепс;
• Разгибание рук стоя;
• Подъемы гантель сидя;
• Подъемы гантель молотковым хватом (нейтральным).